Обратная функция. Обратное отношение: примеры

Обратное отношение: примеры

Перед тем, как перейти к анализу обратной функции, исследуем отношение, обратное данному.

Рассмотрим элементы множеств Х и В, между которыми установлено отношение р и изображено с помощью стрелок.

А теперь поменяем направление стрелок и получим новое отношение между элементами множества Y и элементами множества Х.

Говорят, что q есть отношение, обратное к отношению р. Соответственно отношение является обратным отношению q.

Определим области определений и значений множеств:

Область определения р: {–3; –2; –1}
Область значений р {2; 3; 4; 5}
Область определения q: {2; 3; 4; 5}
Область значений q: {–3; –2; –1}

Видим, что область определения и область значений отношений являются взаимно обратными.

Кроме того, мы можем записать отношение p между элементами множества Х и Y парами {(–3; 2); (–2; 3); (–1; 4); (–1; 5)}. Если поменять местами элементы в каждой паре, то получим пары, которыми задается отношение q, обратное к отношению р: {(2; –3); (3; –2); (4; –1); (5; –1)}

Если определенное отношение определяется множеством пар, то обратное ему отношение определяется множеством пар, полученным из первого отношения перестановкой элементов в каждой паре.

Пример

Рассмотрим взаимно-обратные отношения р и q на графиках.

График отношения р:

График отношения q:

График отношения р и q в одной системе координат:

На графике четко визуализируются пары координат (–3; 2) и (2; –3); (–1; 4) и (4; –1) и т.д. Такие точки являются симметричными относительно прямой у = х, абсцисса первой точки является ординатой второй и т.д. Каждой точке графика отношения р соответствует симметричная относительно прямой у = х точка графика отношения q, и наоборот. Поэтому можем сделать вывод: графики отношений р и q симметричны относительно прямой у = х

Графики взаимно-обратных отношений между числами симметричны относительно прямой у = х.

Пример

Еще один пример взаимно-обратных отношений – это отношение «делитель» и «кратное» между натуральными числами.

Ведь, если m и n – определенные натуральные числа и m является делителем n, то n кратное m, и наоборот, если n кратное m, то m делитель n. Например, из того, что <<5 делитель 10>>, следует, что <<10 кратно 5>>; из того, что <<18 кратно 6>>, следует, что <<6 делитель 18>>.

Обратные функции

Пример

Рассмотрим пример, где заданное отношение между элементами множества А и В. Данное отношение является функцией, поскольку каждому элементу множества А соответствует не более одного элемента множества В.

Изобразим отношение q, которое является обратным к отношению р:

Отношение q не будет функцией, поскольку элементу 2 множества В соответствует более одного элемента множества А (элементы 5 и 6).

Пример

Дано отношение f между элементами множества X и Y, а также обратное ему отношение g между элементами множества Y и X. Определить, являются ли отношения функциями.

Поскольку для обоих отношений характерно то, что каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества У и наоборот, каждому элементу множества У соответствует не более одного элемента множества Х, можем утверждать, что отношение f и отношение g являются функциями.

Функция f называется обратной, если обратное ей отношение также является функцией. Функция обратна тогда и только тогда, когда каждое свое значение она приобретает только при одном значении аргумента.

Особенности обратной функции:

Любая растущая функция обратна
Функция, обратная возрастающей функции, возрастающая
Любая убывающая функция обратна
Функция, обратная убывающей функции, является убывающей
Если некоторое отношение f задано уравнением с двумя переменными х и у, то для задания уравнением отношения, обратного f, достаточно в этом уравнении поменять обозначения х на у и у на х.

Например, если у функции у = 3х – 2 выразить х через у, записав в равенстве х вместо у и у вместо х, получим:

х = 3у - 2

Эта функция будет обратной к данной. Такие функции взаимно обратны.

Графики таких функций будут симметричны относительно прямой у = х:

Пример

Определить графически, какая функция обратная:

График функции g:

Функция g обратная, поскольку нет такого значения функции, которое соответствовало бы разным значениям аргумента.

График функции h

Функция h не обратная, поскольку существует такое значение функции, на пример у = 3, которое соответствует трем разным значениям переменной х. Ведь y = 3 при х = -2,2, при х = 2,5, при х = 4,6.

Пример

Определить, существует ли функция обратная функции:

Наличие обратной функции зависит от области определения. Да, на промежутке ]–∞; +∞ [обратной функции не существует, однако на промежутке [0; +∞ [ обратная функция существует.