Урок 25. Системы уравнений с параметрами

Примеры решения систем уравнений с параметрами

Пример

Дана система уравнений:

Найдите все значения параметра, при которых система имеет ровно четыре решения.

Решение:

Воспользуемся графическим способом решения такой системы уравнений. Очевидно, что график второго уравнения — квадрат с вершинами в точках (2; 0), (–2; 0), (0; 2), (0; –2). Ведь для х ≥ 0, у ≥ 0 имеем: х + у = 2, а для других сторон можно применить симметрию.

Графиком первого уравнения является круг, центр которого находится в начале координат, и радиусом|а|. Изобразим графики этих двух уравнений на координатной плоскости:

Соответственно размер окружности зависит от радиуса |а|. Система имеет ровно четыре корня (круг пересекается с квадратом в 4 точках) в двух случаях:

1. Если круг вписан в квадрат
2. Если круг описан вокруг квадрата

Если круг вписан в квадрат, то значение а равно

Если круг описан вокруг квадрата, то значение а равно |а| = 2

Ответ: –2,  –√͞2;  √͞2,  2

Пример

Дана система уравнений:

Установите, при каких значениях параметра m система уравнений не имеет решений.

Решение:

Разделим почленно первое уравнение системы на второе. Система не будет иметь решений, если выполняется соотношение:

Или

m + 1 ≠ 1,  m ≠ 0 (ведь при m = 0, равенство выполняется)

(m + 1)(m – 2) = –2

Из последнего уравнения исключаем значение m = 0, поэтому система уравнений не имеет решений при m=1

Ответ: m = 1

Пример

Дана система уравнений:

Установите, при каких значениях параметра а система уравнений имеет бесконечно много решений?

Решение:

Выразим х через у, использовав первое уравнение системы:

Теперь подставим выражение из х во второе уравнение:

Умножим правую и левую части уравнения на 2 и сведем подобные слагаемые:

(а + 1)(а + 2 – ау) + 4ау = 4а + 8,

4ау – а(а + 1)у = 4(а + 2) – (а + 1) (а + 2),

уа – (4 – а – 1) = (а + 2) (4 – а – 1),

у∙ а (3 – а) = (а + 2) (3 – а)

Очевидно, что при а = 3, последнее уравнение превращается в 0

0∙ у = 0, то есть равенство выполняется при любых значениях у.

Ответ: а = 3

Калькуляторы для решения систем уравнений