Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Задачи на составление систем уравнений второй степени

Задача. 1

Дано прямоугольник, периметр которого составляет 80 см. Если основу прямоугольника увеличить на 8 см, а высоту – на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в 1,5 раза. Найдите стороны фигуры.

Решение:

Обозначим стороны прямоугольника следующим образом: х см (основание), у см (высота). Поскольку пермиметр – это сумма всех сторон прямоугольника, равная 80 см, то можем записать следующее равенство:

2 ⋅ (х + у) = 80

2х + 2у = 80

Площадь прямоугольника, то есть произведение основания на высоту, равна:

х⋅у квадратных сантиметров

Площадь прямоугольника после увеличения основания и высоты фигуры по условию задачи равна 1,5 площади:

(х + 8)(у + 2) = 1,5 ху

Таким образом, мы получили систему уравнений:

Решив систему, находим ее корни:

Ответ: стороны прямоугольника 28см и 12см или 24см и 16см.

Задача 2

От пристани А до В в 9:00 ч отчалил плот, а в 18:00 отплыл катер со скоростью 18 км/ч. Катер догнал плот на расстоянии 20 км от пристани А. Определите, в какое время лодка догнала плот.

Решение:

Обозначим скорость течения х км/ч; время, за которое лодка догнала плот – t часов. Используя условие задачи, напишем следующую систему уравнений:

х⋅(9 + t) = 20,

(х + 18)⋅t = 20

Можем приравнять левые части обоих уравнений:

х(9 + t) = (х + 18)t,

хt + 9х = хt + 18t,

х = 2t

Подставим значение х в уравнение:

х(9 + t) = 20,

2t (9 + t) = 20,

t2 + 9t – 10 = 0.