Урок 10. Корень n-й степени: свойства, примеры

Корень n-й степени

На прошлых уроках мы изучали понятие квадратного корня. Однако в математике существуют не только квадратные корни, но и кубические (корень третьей степени), корни четвертой, пятой, n-й степеней. Если n – произвольное натуральное число, больше единицы, а – любое действительное число, то можем дать следующее определение корня n-й степени:

Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-й степень которого равна а.

Например, корень третьей степени из 27 равен 3, поскольку 3 в третьей степени равно 27. Корень 5-й степени из -243 равен -3, поскольку -3 в 5-й степени равно -243.

Корень 4-й степени из 625 во множестве действительных чисел имеет следующие значения: 5 и -5, ведь 5 в четвертой степени и -5 в четвертой степени равны 625.

Запись корня n й степени из числа а выглядит так:

Свойства корня n-й степени

Если показатель n является четным числом (2, 4, 6, 8 и т.д.), то результатом извлечения корня n-й степени будет положительное число. Их называют арифметическими значениями корней или просто – арифметическими корнями.

Пример

Если показатель n является нечетным числом (1, 3, 5  и т.д.), а подкоренное выражение положительным, то результатом получения корня n-й степени будут противоположные числа (положительное и отрицательное числа).

Если показатель n является нечетным, а подкоренное выражение (а) отрицательным, то результатом добывания корня n-й степени будет отрицательное число.

Если подкоренное выражение (а) отрицательное, а показатель степени n – четное число, то корень n-й степени из а во множестве действительных чисел не существует.

При любом натуральном показателе n, корень из 0 равен 0.

При любом натуральном показателе n, корень из 1 равен 1

Примеры

Таблица корней

Предлагаем таблицу корней от третьей до десятой степени для некоторых чисел:

Вычислить корень n-ой степени можно на нашему калькуляторе корней.