Сложение, разрядные слагаемые. Компоненты действия

Арифметические действия с натуральными числами и их виды

Перед тем, как мы начнем прибавлять числа, поговорим об арифметическом действии. Ведь сложение чисел – это в первую очередь, арифметическое действие.

Следовательно, выполнение арифметического действия над числами – это процесс нахождения нового (третьего) числа по двум данным. Соответственно, найденное число называется результатом этого действия. Основные арифметические действия над числами – это сложение, вычитание, умножение и деление.

Что такое числовое выражение? Числовое равенство

Говоря об арифметических действиях, следует дать определение числовому выражению. Числовое выражение – это запись, в которой используют только числа, знаки арифметических действий и скобки.

Числовое равенство – это запись, в которой два числа, или два числовых выражения, или числовое выражение и число соединены знаком равенства. То есть, можем утверждать, что числовое равенство отражает результат сравнения, в котором два числа равны друг другу (равны между собой).

Если в числовом выражении стоит знак ≠, соответственно данная запись не является числовым равенством

Если сравнить два разных натуральных числа, то всегда одно число будет больше, а другое меньше.

Пример:

25 и 67. Число 67 больше 25, а число 25 меньше 67.

Сравнивая два натуральных числа, больше будет то число, в записи которого больше цифр. Например, число 235 больше 98, поскольку в записи числа 235 больше цифр.

Если два натуральных числа имеют одинаковое количество цифр в записи, то числа сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда. Например, 568 и 485 – очевидно, что больше число 568, поскольку разряд сотен первого числа больше.

Пример:

В детском саду есть две ясельные группы. Объединив множество этих групп, мы получим одно множество – множество ясельных групп данного детского сада. Предположим, что численность множества детей одной группы равна 15, а другой – 19. Численность множества всех детей ясельных групп определяется посредством действия добавления:

15+19=34

Найденное число 34 называется суммой данных двух чисел 15 и 19.

Что такое сложение? Компоненты действия сложения: слагаемое, слагаемое, сумма

Итак, сложение – это арифметическое действие, с помощью которого определяют число, содержащее столько единиц, сколько их есть в данных числах вместе.

Числа, которые нужно добавить, называются слагаемыми, а результат сложения называется суммой. Между слагаемыми ставится знак + (плюс). Таким образом, компоненты действия сложения называются: слагаемое, слагаемое и сумма. Сложение – это арифметическое действие, которое можно выполнить всегда, какие бы числа (слагаемые) мы не взяли, а результат этого действия всегда выражается определенным единственным числом.

Пример:

Добавление двух чисел записывают следующим образом:

67 + 45 = 112

Важное уточнение, связанное с нулевым слагаемым: Добавление нуля к числу не изменяет данного числа. Ведь:

39 + 0 = 39;
0 + 39 = 39;
0 + 0 = 0.

Поскольку в математике мы часто выполняем различные арифметические действия с нулем (0), в том числе сложение, поэтому будем считать ноль числом наравне с другими числами. И не забываем, что ноль всегда меньше любого другого натурального числа и меньше 1 (наименьшего натурального числа).

В первом классе учащиеся изучают сложение чисел до 10, поэтому представим простейшую таблицу сложения ниже.

Таблица сложения числа 1 в пределах 10:

1 + 1 = 2,

2 + 1 = 3,

3 + 1 = 4,

4 + 1 = 5,

5 + 1 = 6,

6 + 1 = 7,

7 + 1 = 8,

8 + 1 = 9,

9 + 1 = 10.

Переставной закон сложения

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Это один из важнейших законов сложения, который ученики изучают в 1 и 2 классах. Если поменять слагаемые местами, то сумма не изменится. Действительно, 2+4=6 и 4+2=6.

В математике разные законы, правила и свойства принято записывать, обозначая числа латинскими буквами. Поэтому для удобства напишем переставной закон с помощью букв, то есть в общем виде. Обозначим первое слагаемое латинской буквой a, второе слагаемое - буквой b. Запишем переставной закон в виде равенства:

Данная запись в полной мере характеризует переставной закон сложения, который можно применить не только для конкретных чисел (как в нашем примере), но и ко всем.

Сочетательный закон сложения

Сумма не изменится, если какую-нибудь группу стоящих рядом слагаемых заменить их суммой.

Само название этого закона говорит о том, что слагаемые можно сочетать или иными словами объединять в определенные группы. Запишем связующий закон сложения в виде выражения, использовав обозначение слагаемых буквами. Пусть a – это первое слагаемое, b - второе слагаемое и третье слагаемое – c. Поэтому связующий закон сложения для 3 слагаемых будет выглядеть:

При необходимости можно использовать любое количество слагаемых, обозначив их соответствующими буквами.

Что такое разрядные слагаемые? Сумма разрядных слагаемых

Любое натуральное число является записью суммы его разрядных слагаемых. То есть любое многозначное натуральное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Например, число 58, в котором 5 десятков и 8 единиц можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых: 58 = 5 десятков + 8 единиц или 58 = 50 + 8

Записываем числа в виде суммы разрядных слагаемых

Потренуемся разложить некоторые числа на разрядные слагаемые:

39 = 30 + 9

689 = 600 + 80 +9

2572 = 2000 + 500 + 70 + 2

5864 = 5000 + 800 + 60 + 4

9063 = 9000 + 60 + 3

Пример:

Нам необходимо добавить 2 трехзначных числа: 214 + 439

В первую очередь раскладываем данные числа на разряды: 200 + 10 + 4 + 400 + 30 + 9

Далее группируем сотни, десятки и единицы в отдельные группы: (200 + 400) + (10 + 30) + (4 + 9)

Теперь добавляем сотни к сотням, десятки к десяткам и соответственно единицы к единице:

200 + 400 = 600

10 + 30 = 40

4 + 9 = 13

Теперь нам нужно прибавить три числа (600, 40, 13). Поскольку в разряде единиц образовался десяток, мы добавляем его в группу десятков, которых 40. Таким образом, финальное выражение будет выглядеть: 600 + 40 + 10 + 3 = 653.

Сложение в столбик

Решая предыдущий пример, мы пользовались и переместительным законом, и сочетательным законом, и правилами десятичной нумерации. Следует отметить, многоцифровые числа, в том числе и двухзначные, трехзначные, добавляют по разрядам. Для удобства добавления многозначных чисел в математике используют запись чисел друг под другом – в столбик. Важнейший нюанс – при записи чисел разряды одного числа записывают под соответствующими разрядами другого числа. Лучше всего записывать добавление чисел в столбик на листе в ячейку, где каждая цифра разряда будет иметь свою ячейку.

Учтите также, что каждые 10 единиц любого разряда дают одну единицу высшего (следующего за ним) разряда. К примеру, при добавлении разрядов десятков (2 и 9) мы записываем под знаком действия на месте десятков 1 (ведь 2+9=11) и увеличиваем разряд сотен на единицу.

Примеры по математике добавления в столбик:

Прокомментируем результаты добавления вышеперечисленных чисел в столбик. В варианте а) нужно было добавить два числа 352 и 634. Мы записали его в столбик, соответствующие разряды одного числа под разрядами другого. Сложение разрядов начинаем слева направо – от разряда единиц: 2+4=6, разряд десятков: 5+3=8, разряд сотен: 3+6=9. Получим сумму чисел 986.

Пример б: прибавляем числа 2450 и 328. Первое число записано в виде 4 цифр, второе содержит 3 разряда. Поэтому следует правильно записать действие добавления в столбик, второе число не содержит разряда тысяч назад, поэтому данная ячейка будет пустой. Разряд единиц: 0+8=8, разряд десятков: 5+2=7, разряд сотен: 4+3=7, разряд тысяч: 2. Получим сумму чисел 2778.

Если от добавления единиц получаем десяток, так как в примере в) мы получили число 12 от добавления единиц (3+6+3=12), соответственно две единицы мы записываем под разрядом единиц, а один десяток надписываем над столбцом десятков и впоследствии добавляем его до десятков. По желанию этот десяток можно не надписывать, однако стоит не забыть добавить его. Разряд десятков будет: 1+2+5+1=9, разряд сотен: 1+4+2=7. Получим сумму чисел: 792

В примере г) мы прибавляем четыре числа: 673+5928+3627+1492. Первое число имеет 3 разряда, другие – четыре. Соответственно в записи перед первым числом в разряде тысяч пустая ячейка. Добавляем разряд единиц: 3+8+7+2=20, записываем 0, двойку добавляем в разряд десятков: 2+7+2+2+9=22 – записываем 2, и двойку добавляем в разряд сотен: 2+6+9 +6+4=27, записываем 7 и добавляем двойку в разряд тысяч: 2+5+3+1=11. Получим сумму чисел 11720

Добавление суммы к числу и числу к сумме

Чтобы добавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, достаточно добавить к этому числу первое слагаемое, к найденной сумме добавить второе слагаемое и т.д. и наоборот: чтобы добавить какое-либо число к сумме нескольких слагаемых, достаточно добавить это число к какому-либо одному слагаемому, оставив другие без изменений.

Изменение суммы чисел

Если одно из слагаемых увеличить на какое-то число, то на то же число увеличится и сумма

Запишем данное утверждение в выражении буквами, где m – число, на которое увеличивается одно из слагаемых и соответственно увеличивается и сумма чисел (c).

если a + b = c, тогда (a + m) + b = c + m.

Пример:

16 + 9 = 25, тогда (16 + 10) + 9 = 25 + 10.

ЗАДАЧА:

В первый день путешествия Олег проехал 56 километров, ему осталось проехать на 12 км больше, чем он проехал. Сколько всего километров нужно проехать Олегу?

РЕШЕНИЕ:

1) 56 + 12 = 68 (км) - осталось проехать Олегу