Урок 8. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Системы уравнений с двумя переменными

Для решения сложных задач могут составлять два уравнения, каждое из которых содержит по две неизвестные величины. То есть используют два уравнения с двумя неизвестными, образующими систему уравнений. Для решения системы уравнений нужно найти общее решение для обоих уравнений, то есть, найти такие значения неизвестных (например, х и у), которые одновременно удовлетворяют условиям первого и второго уравнений. Или другими словами, нужно решить систему уравнений. Следовательно, решением системы уравнений является каждая пара значений неизвестных, одновременно удовлетворяющая оба уравнения системы.

Если нужно найти общее решение для 2 и более уравнений, то говорят, что данные уравнения образуют систему уравнений. Для записи системы уравнений используют фигурную душку, записав уравнение одно под другим:

Что такое линейная система уравнений?

Система уравнений называется линейной, если все входящие в систему уравнения являются линейными.

Если система из n линейных уравнений содержит n неизвестных, то возможны следующие варианты решений:

1. У системы нет решений. (В этом случае систему уравнений называют несовместимой)
2. Система имеет одно решение
3. Система имеет нескончаемое количество решений.

Решить систему уравнений – значит найти все решения этой системы или показать, что она не имеет их.

Пример. Решить систему уравнений

Решением системы уравнений является единственная пара чисел х = 15,  у = –5

Равносильные системы уравнений

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них являются решениями второй, и наоборот, все решения второй системы являются решениями первой. Равносильны также две несовместимые системы уравнений (системы, не имеющие решений). Две равносильные системы уравнений могут состоять как из одинакового, так и из разного количества уравнений. Более того, система уравнений может быть равносильна одному уравнению.

Например, для системы уравнений

решением является пара чисел х = 4,  у = 3

Кроме того, данная пара чисел является единственным решением системы.

Итак, можем сделать вывод, что данные системы уравнений равносильны.

Теоремы о равносильности систем уравнений первой степени

Теорема 1

Любое из уравнений системы можно заменить равносильным к нему уравнением; полученная в результате этого система равносильна данной.

Пример

В системе уравнений

заменим второе уравнение равносильным ему уравнением 9х + 6у = 57, то получим новую систему уравнений:

Эта система уравнений будет равносильна начальной системе уравнений.

Теорема 2

Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система будет равносильна данной.

Пример

В системе уравнений

Первое уравнение заменим на сумму двух уравнений, то есть на 5х – 2у = 23, получим новую систему, равносильную данной:

Теорема 3

Можно из одного уравнения системы выразить какое-то неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение, новое уравнение вместе с первым образует систему, равносильную данной.

Пример

Дана система уравнений:

Выразим неизвестное х через у, использовав второе уравнение: х = 2у + 1

А теперь подставим данное выражение в первое уравнение, получим: 2(2у + 1) + 3у = 33

До полученного уравнения допишем второе уравнение, получим новую систему уравнений, равносильную данной:

Решение систем уравнения: примеры

Пример. Решите систему уравнений

Решение:

Поскольку х + y = 3, второе уравнение можем записать как 2⋅(х + у)=7

Подставим вместо х + у в число 3 во второе уравнение, получим:

2 ⋅ 3 ≠ 7

Следовательно, у системы нет решений.

Пример. Найти решения системы уравнений

Поскольку второе уравнение исходит из первого путём умножения на 2, поэтому фактически имеем одно уравнение. Поэтому можем сделать вывод, что данная система уравнений имеет бесконечное количество решений.

Пример. Какая пара чисел является решением системы уравнений:

Решением данной системы уравнений является пара чисел (7; 2). Ведь:

7 – 2⋅2 = 3

3⋅7 + 2 = 23

Подставив значения х = 7 и у = 2 в первое и второе уравнение, получим равенство. Это означает, что пара чисел (7; 2) является решением системы уравнений.